Dinamica firelor. Modelare si experiment.

CUPRINS

PREFATA AUTORULUI 6

CAPITOLUL 1. PARTICULARITATILE CONSTRUCTIVE ALE FIRELOR REALE 7
1.1. Lanturi 7
1.2. Cabluri 10
1.3. Fixarea organelor flexibile 15
1.4. Alte organe flexibile 16

CAPITOLUL 2. DINAMICA FIRELOR REALE SUPUSE LA TRACTIUNE 18
2.1. Elasticitatea si amortizarea cablurilor 18
2.2. Modelul fizic si matematic 21
2.3. Solutiile ecuatiei de miscare 23

CAPITOLUL 3. DINAMICA FIRELOR REALE SUPUSE LA SOLICITARI PE ORICE DIRECTIE 29
3.1. O incercare de a extinde aplicabilitatea sistemului de ecuatii (3.1) 30
3.2. Un alt model de fir 33
3.3 Modelul fizic al lantului 36
3.4 Modelul matematic al lantului 37
3.5 Modelul matematic al cablului sau funiei 39

CAPITOLUL 4. DINAMICA SISTEMELOR CU ORGANE FELXIBILE 41
4.1. Constantele de elasticitate la palanul simplu 41
4.2. Constantele de elasticitate la palanul dublu 42
4.3. Constantele de elasticitate la palanul exponential 44
4.4. Dinamica palanelor de sarcina.47
4.4.1. Palane cu sarcina demarata in urcare, actionate de motor electric 47
4.4.2. Palane cu sarcina in coborare si oprita prin franare mecanica 54

CAPITOLUL 5. DINAMICA MASINILOR CU ORGANE FELXIBILE 56
5.1. Podul rulant 56
5.1.1. Constructie 56
5.1.2. Modelul matematic 57
5.1.3. Solutii ale regimului dinamic 60
5.2. Ascensorul 62
5.2.1. Constructia ascensorului 62
5.2.2. Ecuatiile de miscare ale elementelor mobile ale unui ascensor 63
5.2.3. Solutii ale regimului dinamic 66

CAPITOLUL 6. TEHNICI DE CALCUL NUMERIC FOLOSITE IN REZOLVAREA MODELELOR DINAMICE 69
6.1. Rezolvarea ecuatiilor. Metoda lui Newton si variantele sale 70
6.2. Rezolvarea sistemelor de ecuatii liniare 72
6.3. Rezolvarea sistemelor de ecuatii neliniare. Inversarea matricilor 75
6.4. Rezolvarea problemelor de extrem 84
6.4.1. Determinarea analitica a extremelor 85
6.4.2. Determinarea numerica a extremelor 86
6.5. O metoda proprie pentru rezolvarea sistemelor mari de ecuatii 90
6.5.1. Prezentarea metodei 93
6.5.2. Utilizarea concreta 93
6.5.3. Dezavantajele si avantajele metodei propuse 94
6.5.4. Concluzii 95
6.6. Rezolvarea numerica a ecuatiilor diferentile si a sistemelor de ecuatii diferentiale 95
6.6.1. Rezolvarea ecuatiilor diferentiale ordinare si a sistemelor de ecuatii diferentiare ordinare 96
6.6.1.1. Metoda Runge-Kutta de ordinul patru si metoda diferentelor finite 96
6.6.1.2. Precizia si stabilitatea solutiilor numerice ale ecuatiilor diferentiale cu derivate partiale 106

PREFATA AUTORULUI:

Dinamica firelor se deosebeste de dinamica celorlalte organe de masini datorita particularitatii lor de a fi flexibile, deci deformabile.

Dinamica solidelor nedeformabile este usor de tratat, in comparatie cu firele, datorita posibilitatii inlocuirii solidului cu un punct material pentru care se scriu relatiile ce izvorasc din principiile mecanicii clasice: principiile mecanicii Newtoniene, teorema impulsului, principiul lui d’Alembert etc. Dar un fir nu poate fi un punct material.

Dinamica solidelor deformabile este mai complicata doarece, pentru a putea fi considerate deformabile, trebuie cunoscuta forma si dimensiunile lor, asimilarea cu un punct material nemaifiind posibila. Cu toate acestea s-a reusit elaborarea de modele analitice pentru solide simple precum bare in general rectilinii cu sectiune constanta si omogena, placi
si membrane, solide simple geometric.

Aduc aici o completare: tratarea dinamicii unui organ de masina sau a unui ansamblu de organe de masini aflate in interactiune presupune cercetarea regimurilor tranzitorii care se desfasoara intre o stare considerata stationara si alta stare stationara. Acest lucru atrage dupa sine folosirea ecuatiilor de echilibru de tip dinamic, cu considerarea inclusiv a fortelor de inertie, pe langa celelalte forte de natura elastica, de frecare de orice tip si altele.

Firele trebuie considerate de la bun inceput ca fiind deformabile, avand masa distribuita pe o singura dimensiune, care este din punct de vedere matematic coordonata liniara unidimensionala a firului sub orice forma ar ocupa-o el, numita adesea coordonata naturala. Deformabilitatea firelor poate fi considerata, la randul sau, fie ideala in cazul firelor ideal flexibile, fie deformabile sub considerarea unei rigiditati la incovoiere sau rasucire la firele reale. Deformarea firelor trebuie sa mai produca si alte efecte, neglijate pana acum: frecari interne foarte mari. In lucrare se arata cum apare acest lucru la cabluri, de unde se mai desprinde o necesitate: construirea de standuri pentru determinarea acestei caracteristici, neglijata complet pana in prezent si care influenteaza foarte mult comportamentul dinamic al firului sau al masinii din care face parte.

Mecanica nu a tratat niciodata firele din punct de vedere dinamic ci numai static (curba lantisor, ecuatiile lui Euler). Incercarile in acest domeniu au ramas nesolutionate, in lucrare se arata ca de fapt modelele erau incomplete si nu puteau conduce la nicio solutie. Aceasta lipsa a fost generata de cateva confuzii privind caracteristicile unui fir real, respectiv tratarea gresita a notiunii de elasticitate a firelor in sensul lungimii lor si, mult mai grav, considerarea in dinamica a regulii ca firele nu preiau solicitari de compresiune in lungul lor. In lucrare se va vedea ca orice fir preia solicitari de compresiune (impingere) in aceeasi masura ca la intindere (tragere), atat dinamic cat si static si numai considerarea acestui lucru poate solutiona dinamica reala a firelor.

Modelele dinamice oferite de autor in lucrare sunt modele neliniare, care este de fapt o alta particularitate a firelor si complica rezolvarea lor pe cale analitica. Autorul a adoptat insa metoda taierii nodului gordian si aplica oricarui model fizico-matematic propriul sau model numeric programat de el insasi pe calculatoare moderne, folosind mediul Delphi7 pentru a elabora softuri proprii, Delphi7 fiind un mediu foarte puternic dar destul de dificil pentru neinitiati. Pentru elaborarea acestor modele autorul s-a bazat pe experienta a peste 30 de ani de modelare numerica si de instrumentatie virtuala.

La modul general, in matematica sau in tehnica, algoritmii fac apel la metode numerice, in masura mai mare sau mai mica, dependenta de problema de rezolvat. De exemplu, rezolvarea deformarii elastice sau plastice a unui corp cu forme si dimensiuni cunoscute, incarcat cu eforturi cunoscute folosind analiza cu elemente finite, se face conform unui algoritm in care sunt cuprinse metode numerice specifice operatiilor cu matrici (inversare, factorizare etc), metode numerice specifice rezolvarii sistemelor de ecuatii liniare, metode numerice specifice interpolarii functiilor etc.

Daca in urma cu cca 3 decenii calculul numeric in cercetare nu depasea 8%...10%, acum a devenit la fel de indispensabil precum calculatorul insusi.

Metodele numerice sunt, in esenta, metode simple, care folosesc cele patru operatii elementare din aritmetica. Complicata este insa incadrarea lor in algoritmi care, pe de o parte, sa garanteze rezolvarea corecta a problemei, pe de alta parte sa permita o programare comoda pe masini de calcul. Pentru a se intelege bine acest lucru, autorul a cautat sa imbine in lucrarea de fata modelele dinamice cu cele mai folosite metode numerice, insotite de foarte multe exemple concrete si comentarii, care sa fereasca pe viitorul utilizator de nenumaratele capcane in care poate sa cada.

Lucrarea este insotita de exemple practice la fiecare capitol iar autorul poate pune la dispozitia celor interesati si propriile softuri, prin editorul acestei lucrari, pentru cine doreste modelarea diferitelor situatii reale.

Iunie 2015