Metode numerice in tehnica
Autor: Nicolae Ursu Fischer | Mihai Ursu
Editura: Casa Cartii de Stiinta Cluj-Napoca
Format: 20,5x29 cm
Nr. pagini: 836
Coperta: brosata
ISBN: 978-606-17-1450-6
Anul aparitiei: 2019
DESPRE CARTE
De aproape 800 de ani toate calculele se fac utilizand sistemul de numeratie zecimal, dar numai de 70 de ani sistemele de numeratie binar, octal si hexazecimal si-au gasit utilizarea in constructia si functionarea calculatoarelor electronice.
Cunoasterea problematicii sistemelor de numeratie si a modului cum informatia numerica este inregistrata in memoria calculatorului este necesara pentru orice utilizator al calculatorului, care-l foloseste pentru a efectua calcule a caror precizie trebuie sa fie corespunzatoare, acest lucru fiind constatat de autori de-a lungul anilor in care au predat cursuri de programarea calculatoarelor.
Scurtele referiri la sistemele de numeratie utilizate, la trecerea dintr-o baza in alta, la ordinul de marime a diferitelor tipuri de date, la numarul de cifre semnificative care se pot inregistra corect, care se fac in cadrul cursurilor de programare in diferite limbaje, ar trebui completate cu mult mai multe informatii, acest deziderat fiind avut in vedere la elaborarea primelor sase capitole ale acestei lucrari.
Un interes aparte este acordat prezentarii unor aspecte legate de algebra booleana, functiile logice, circuitele care realizeaza functiile logice si cele utilizate pentru operatiile cu numere binare, acest lucru fiind facut in cadrul celui de-al saptelea capitol.
Autorii
PREFATA
Cursurile de algebra, analiza matematica, geometrie analitica si diferentiala, matematici speciale fac parte din programul de invatamant al universitatilor si institutelor politehnice inca de la infiintarea acestora.
Pe parcursul timpului, o serie de matematicieni si-au indreptat atentia si asupra unor probleme legate de calculul numeric, de rezolvarea efectiva, din punct de vedere practic nefiind important faptul ca o problema are solutie (chiar daca la acest rezultat se ajunge prin rationamente matematice remarcabile), ci determinarea efectiva a acestei solutii.
Inca de acum doua secole au existat multi matematicieni care au imaginat metode extrem de interesante pentru obtinerea unor rezultate numerice: rezolvarea ecuatiilor polinomiale de grad mai mare decat patru, rezolvarea sistemelor de ecuatii liniare si neliniare, aproximarea functiilor utilizand metoda celor mai mici patrate, rezolvarea ecuatiilor si sistemelor de ecuatii diferentiale, exemplele putand continua.
Aparitia calculatoarelor, dotarea acestora cu softuri performante, inclusiv cu limbaje de programare au permis efectuarea unui pas extrem de important: matematicienii, precum si toti cei interesati, ingineri, economisti, au avut posibilitatea de a gasi rezultate exprimate nu in formule sau expresii, ci in cifre, rezultate utilizabile imediat in domeniile lor de activitate.
Astfel, a reiesit clar ca va trebui dezvoltat si un alt domeniu al matematicii: metodele numerice, asistand in zilele noastre la o dezvoltare fara precedent a acestui domeniu.
Apar frecvent carti, se organizeaza conferinte stiintifice cu o astfel de tematica, exista pe plan mondial sute de reviste in care apar lucrari stiintifice din acest domeniu.
Curricula universitara a inceput sa contina cursuri de metode numerice sau cu denumiri similare, la inceput in cadrul facultatilor de matematica ale universitatilor, iar apoi si la facultatile cu profil tehnic si economic.
Autorii au considerat ca ar fi foarte bine sa existe o lucrare din domeniul metodelor numerice, cat mai completa, cu cat mai multe informatii, atat din punct de vedere matematic cat si al utilizarilor practice, care sa fie la dispozitia celor interesati - studenti, masteranzi, doctoranzi, cadre didactice din universitati, personal de cercetare, tuturor acelora care doresc sa cunoasca metodele numerice. Cu ajutorul acestora ar putea fi studiate si rezolvate diferite probleme care intervin in cadrul activitatii lor, ar putea fi inteles modul de functionare a diferitelor functii din MATLAB, Mathematica, MathCAD, etc., utilizarea acestora sa devina mai profunda.
Consideram ca rezolvarea unei probleme trebuie sa implice nu numai calculatorul (viteza de calcul, capacitate de prelucrare a unui numar imens de date, software performant), ci si o contributie din partea utilizatorului. Credem ca personalul cu pregatire stiintifica superioara din domeniul tehnic nu trebuie sa se limiteze numai la folosirea unui software elaborat de altii, ci sa cunoasca si fundamentarea matematica a acestuia.
Lucrarea contine un numar de 29 de capitole, in primele tratand probleme privind modul cum se face inregistrarea datelor in calculator si cum apar erorile de calcul, continuand apoi cu metodele de rezolvare numerica a ecuatiilor si sistemelor de ecuatii, liniare si neliniare, calculul matriceal, interpolarea si aproximarea functiilor, integrarea si derivarea numerica, polinoame ortogonale si functii speciale, rezolvarea ecuatiilor si sistemelor de ecuatii diferentiale ordinare, cu conditii initiale si cu conditii la limita. S-a acordat o mare importanta problemelor legate de precizia rezolvarilor numerice, in special privind schimbarea pasului de integrare.
Toate capitolele contin prezentari ale teoriei, ale algoritmilor utilizati, programe C si o multitudine de exemple numerice.
In cadrul unui capitol (Capitolul XV) s-au prezentat o serie de probleme legate de bazele matematice ale graficii pe calculator, cu referire la grafica 2D (curbele Bezier, B-spline, NURBS), extrem de utile pentru utilizatorii aplicatiilor CAD.
In ceea ce priveste rezolvarea numerica a ecuatiilor si sistemelor de ecuatii diferentiale, in cadrul lucrarii sunt tratate astfel de metode atat in cazul celor de tip „stiff”, cat si cu argument intarziat, metode mai putin tratate in literatura, acelasi lucru fiind valabil si in cazul metodei Bulirsch-Stoer-Gragg, bazata pe extrapolarea Richardson.
De asemenea, consideram ca prezinta interes modul cum se face aproximarea prin polinioame de grad cat mai mic a functiilor elementare, aspecte privind aceste procedee fiind explicate in Capitolul XIV.
In cadrul fiecarui capitol se pot gasi o multitudine de exemple, din diferite domenii, mecanica teoretica, vibratii mecanice, inginerie mecanica in general, electrotehnica, climatologie, epidemiologie, stiinte sociale, macroeconomie, modelarea procesului de selectie naturala etc.
La sfarsitul capitolelor si al paragrafelor sunt indicate toate sursele documentare consultate, care se regasesc si in bibliografia foarte vasta de la sfarsitul lucrarii. S-au consultat principalele tratate de metode numerice existente in prezent precum si multe articole, referate, teze de doctorat sau masterat, comunicari la conferinte stiintifice etc.
Pe parcursul mai multor ani, 2000, 2003 si 2013, au aparut o serie de lucrari privind metodele numerice in tehnica si programarea acestora in limbajul C, ([Ursu00], [Ursu03], [Ursu13]), apartinand autorilor, la care s-au adaugat alte doua lucrari, din 2010 si 2011 ([Ursu10], [Ursu11]), care cuprindeau o serie de capitole al caror continut era de asemenea legat de problematica calculului numeric.
Am considerat ca ar fi util sa prezentam intr-o singura lucrare toate problemele legate de metodele numerice existente in lucrarile anterioare, mult mai vasta si mai completa, astfel incat cei interesati sa gaseasca intr-un singur loc toate aceste aspecte.
In toate capitolele s-au adus o serie de completari, atat in ceea ce priveste partea teoretica cat si aplicatiile, unele dintre acestea fiind din alte doua lucrari, ale primului autor ([Ursu98] si [Ursu15]).
Acest volum, dupa cunostintele noastre, este cea mai ampla si completa lucrare de metode numerice, cu utilizari in tehnica, elaborata in Romania pana in prezent.
Consideram ca aceasta lucrare poate sa constituie un bun suport de curs pentru disciplina de “Metode numerice in tehnica”, care nu ar trebui sa lipseasca din programele de invatamant ale specializarilor de profil ingineresc. Din pacate, odata cu trecerea la ciclurile de licenta + master, conform modelului “Bologna”, noile programe de invatamant au prevazute, la unele facultati de profil tehnic, prea putine ore de matematica, fizica si alte discipline fundamentale.
Faptul ca este sau nu utila, va fi decis de cei care o vor utiliza.
Orice pareri si comentarii privind continutul acestei carti sunt binevenite si pot fi comunicate la e-mail-ul nic_ursu@yahoo.com .
Cluj-Napoca, aprilie 2019
Dr. ing. matem. Nicolae URSU-FISCHER dr HC
Dr. ing. Mihai URSU
Universitatea Tehnica din Cluj-Napoca
Profesor universitar emerit
CUPRINS
PREFATA 3
Cap. I SISTEME de NUMERATIE 11
1.1 Sisteme nepozitionale si pozitionale 11
1.2 Sistemele de numeratie cu bazele 2, 8 si 16.Trecerea dintr-o baza in alta 13
Cap. II INREGISTRAREA DATELOR de TIP CARACTER si de TIP NUMERIC INTREG 17
2.1 Inregistrarea datelor de tip caracter 17
2.2 Inregistrarea datelor numerice de tip intreg 17
2.3 Operatii aritmetice cu numere intregi 22
Cap. III INREGISTRAREA DATELOR NUMERICE de TIP REAL 26
3.1 Reprezentarea interna a datelor numerice de tip real 26
3.2 Operatii aritmetice cu numere reale 34
Cap. IV NUMERE APROXIMATIVE si TEORIA ERORILOR 39
4.1 Surse de erori in calculul numeric. Erori absolute si relative. Cifre semnificative si cifre exacte 39
4.2 Erori in cazul calcularii valorilor unei functii. Operatii aritmetice cu numere aproximative 41
4.3 Problema inversa in cazul teoriei erorilor 43
Cap. V ERORI de CALCUL in CAZUL OPERATIILOR cu NUMERE REALE 45
5.1 Calculul unei expresii 45
5.2 Calculul unei expresii care ar trebui sa aiba valoare nula 46
5.3 Calculul valorii unei integralei definite utilizand relatii de recurenta 47
5.4 Calculul puterilor “raportului de aur” 49
5.5 Calculul sumei unui sir 51
5.6 Rezolvarea unui sistem de ecuatii liniare si neomogene 52
5.7 Inversarea unei matrice 53
5.8 Ratarea interceptarii unei rachete 53
Cap. VI REZOLVAREA NUMERICA a ECUATIILOR 55
6.1 Rezolvarea exacta a ecuatiilor polinomiale de gradul doi, trei si patru 55
6.2 Ecuatii polinomiale de un grad oarecare. Metoda numerica a lui Bairstow 59
6.3 Rezolvarea ecuatiilor neliniare oarecare 63
6.3.1 Metoda parcurgerii 63
6.3.2 Metoda injumatatirii intervalelor (a bisectiei) 65
6.3.3 Metoda tangentei (Newton). Conditii de aplicare 66
6.3.4 Metoda coardei 70
6.3.5 Metoda falsei pozitii ("regula falsi") 72
6.3.6 Metoda combinata a tangentei si a falsei pozitii 72
6.3.7 Metoda aproximatiilor succesive. Teorema de convergenta 73
6.3.8 Metodele lui Ridders si Brent 75
6.4 Aplicatii in tehnica 76
Cap. VII CALCUL MATRICEAL 80
7.1 Definitii, operatii, proprietati 80
7.2 Descompunerea unei matrice intr-un produs de doua matrice 94
7.2.1 Descompunerea unei matrice oarecare intr un produs de doua matrice triunghiulare A=L U 94
7.2.2 Descompunerea unei matrice triunghiulare jos intr-un produs dintre o matrice triunghiulara jos cu elemente unitare pe diagonala si o matrice diagonala 98
7.2.3 Descompunerea A=LR a unei matrice oarecare 99
7.2.4 Descompunerea unei matrice simetrice intr un produs dintre o matrice triunghiulara si transpusa ei A = At = Tt * T 101
7.2.5 Descompunerea unei matrice intr-un produs dintre o matrice cu coloane ortogonale si o matrice triunghiulara A=QC T. Procedeul lui Gram-Schmidt 103
7.2.6 Descompunerea unei matrice intr-un produs dintre o matrice ortogonala Q si o matrice triunghiulara R, A=QR 105
7.2.7 Descompunerea unei matrice intr-un produs dintre o matrice ortogonala Q si o matrice triunghiulara sus R, utilizand matricele lui Householder 107
7.3 Inversarea unei matrice 111
7.3.1 Inversarea unei matrice triunghiulare jos 112
7.3.2 Inversarea unei matrice oarecare utilizand metoda descompunerii in doua matrici triunghiulare 114
7.3.3 Inversarea unei matrice cu metoda "schimburilor" 116
7.3.4 Inversa generalizata (pseudoinversa) a unei matrice 118
7.4 Polinomul caracteristic al unei matrice, valori si vectori proprii 126
7.4.1 Teoreme fundamentale si proprietati privind valorile si vectorii proprii 127
7.4.2 Interpretarea geometrica a valorilor si vectorilor proprii in cazul unei matrice 2x2 132
7.4.3 Utilizarea valorilor si vectorilor proprii in studiul variatiei momentului de inertie mecanic axial in functie de pozitia axei 133
7.4.4 Determinarea coeficientilor polinomului caracteristic cu metoda lui LeVerrier 135
7.4.5 Inversarea unei matrice cu metoda lui LeVerrier 137
7.4.6 Inversarea unei matrice folosind coeficientii polinomului caracteristic si teorema lui Cayley-Hamilton 138
7.4.7 Metoda lui A. N. Kralov (1938) 138
7.4.8 Metoda lui A. M. Danilevski (1937) 139
7.4.9 Metoda LR (Left - Right) a lui H. Rutishauser (1955) 140
7.4.10 Metoda QR, Francis-Kublanovskaia (1961) 145
7.4.11 Determinarea valorilor si vectorilor proprii ai unei matrice simetrice cu metoda lui Jacobi 147
7.4.12 Determinarea valorilor si vectorilor proprii cu metoda lui Jacobi in cazul particular al unei matrice nesimetrice, cu utilizari in teoria vibratiilor 150
7.5 Functii de matrice 152
7.6 Pozitiile valorilor proprii in planul complex. Teorema lui Gerschgorin 159
7.7 Aplicatii in tehnica 161
7.7.1 Determinarea coordonatelor unui punct P in raport cu doua sisteme de referinta 161
7.7.2 Calculul coordonatelor punctelor traiectoriei absolute descrise de un punct apartinand unei piese care este fixata in dispozitivul de prehensiune al unui robot, cunoscandu-se toate deplasarile relative ale elementelor robotului 163
7.7.3 Rezolvarea numerica a problemei comenzii cinematice a robotilor 165
7.7.4 Determinarea pulsatiilor si vectorilor proprii in cazul unui sistem mecanic care efectueaza vibratii de torsiune 167
Cap. VIII REZOLVAREA SISTEMELOR de ECUATII ALGEBRICE LINIARE si NEOMOGENE 171
8.1 Metode exacte in cazul sistemelor de n ecuatii cu n necunoscute 172
8.1.1 Rezolvarea unui sistem LX=B, L fiind o matrice triunghiulara jos 172
8.1.2 Rezolvarea unui sistem UX= B, U fiind o matrice triunghiulara sus 172
8.1.3 Rezolvarea unui sistem AX=B, cu metoda factorizarii A=LU, in cazul matricelor A oarecari 174
8.1.4 Rezolvarea unui sistem AX=B, cu metoda factorizarii A=TtT, in cazul matricelor A simetrice 176
8.1.5 Rezolvarea unui sistem AX= B, cu metoda factorizarii A=QR, in cazul matricelor A oarecari 177
8.1.6 Metoda lui Gauss a eliminarii 178
8.1.7 Metoda lui Gauss cu pivotare partiala 179
8.1.8 Metoda lui Gauss cu pivotare totala 186
8.1.9 Rezolvarea unui sistem cu matrice banda tridiagonala, cu metoda dublei parcurgeri 186
8.1.10 Corectarea solutiei 188
8.2 Metode aproximative (iterative) de rezolvare a sistemelor de n ecuatii cu n necunoscute 190
8.2.1 Metoda iteratiei matriceale a lui Jacobi (a corectiei simultane) 190
8.2.2 Metoda lui Gauss Seidel (a corectiei succesive) 193
8.2.3 Metoda relaxarii (Southwell) 195
8.3 Rezolvarea aproximativa a sistemelor de m ecuatii cu n necunoscute (m?n) 197
8.3.1 Rezolvarea sistemelor de ecuatii utilizand metoda celor mai mici patrate 197
8.3.2 Rezolvarea sistemelor utilizand pseudoinversa 203
8.4 Aplicatii in tehnica 207
8.4.1 Calculul eforturilor in barele unei grinzi cu zabrele utilizand metoda izolarii nodurilor. 207
8.4.2 Calculul unui circuit electric 213
8.4.3 Calculul maselor echivalente in cazul unei biele 213
Cap. IX REZOLVAREA SISTEMELOR de ECUATII NELINIARE 216
9.1 Aspecte introductive 216
9.2 Metoda lui Newton-Raphson 216
9.3 Metoda lui Newton simplificata 222
9.4 Metoda iteratiei 222
9.5 Metoda gradientului 223
9.6 Aplicatii in tehnica 225
9.6.1 Determinarea pozitiilor elementelor unui mecanism patrulater 225
9.6.2 Determinarea pozitiilor elementelor unui mecanism plan cu cinci elemente Mobile 226
9.6.3 Rezolvarea problemei geometrice directe si inverse in cazul unei structuri corespunzatoare unui robot PUMA 227
9.6.4 Studiul geometric al robotului PUMA. Determinarea valorilor erorilor absolute maxime ale necunoscutelor ?1 , ?2 si ?3 astfel incat erorile absolute ale coordonatelor operationale xP0 , yP0 si zP0 sa fie in anumite limite 230
Cap. X INTERPOLAREA FUNCTIILOR 233
10.1 Probleme generale 233
10.2 Interpolare liniara 234
10.3 Polinomul de interpolare Lagrange 234
10.4 Utilizarea polinoamelor de interpolare Lagrange la constructia functiilor de forma utilizate in metoda elementelor finite 243
10.5 Rezolvarea ecuatiilor neliniare utilizand interpolarea Lagrange inversa 248
10.6 Procedeul iterativ al lui Aitken pentru calculul valorilor polinomului de interpolare Lagrange 249
10.7 Procedeul iterativ al lui Neville pentru calculul valorilor polinomului de interpolare 252
10.8 Diferente finite si diferente divizate 253
10.9 Polinoamele de interpolare ale lui Newton de prima si de a doua speta 256
10.10 Polinoamele de interpolare ale lui Gauss si Stirling 259
10.11 Polinomul de interpolare al lui Bessel 261
10.12 Alegerea pozitiei optime a nodurilor de interpolare 261
10.13 Polinomul de interpolare al lui Hermite 266
10.14 Utilizarea polinoamelor de interpolare Hermite la constructia functiilor de forma utilizate in metoda elementelor finite 272
10.15 Interpolare cu functii spline 274
10.16 Functii spline cubice de interpolare 275
Cap. XI POLINOAME ORTOGONALE si FUNCTII SPECIALE 281
11.1 Probleme generale privind polinoamele ortogonale 281
11.1.1 Polinoamele ortogonale ale lui Jacobi 284
11.1.2 Polinoamele ortogonale ale lui Gegenbauer 285
11.1.3 Polinoamele ortogonale ale lui Legendre 287
11.1.4 Polinoamele ortogonale ale lui Cebasev de speta I si a II-a 293
11.1.5 Polinoamele ortogonale ale lui Laguerre 298
11.1.6 Polinoamele ortogonale ale lui Hermite 301
11.1.7 Polinoamele ortogonale ale lui Radau 304
11.1.8 Polinoamele ortogonale ale lui Lobatto 304
11.1.9 Polinoame ortogonale de variabila discreta 304
11.1.10 Fractii continue si polinoame ortogonale 309
11.1.11 Program pentru determinarea coeficientilor si radacinilor unor polinoame ortogonale 313
11.2 Probleme generale privind functiile speciale 315
11.2.1 Functia Gamma 315
11.2.2 Functia Beta 321
11.2.3 Functiile digamma ?0(z) si poligamma ?n(z) 324
11.2.4 Functia ? a lui Riemann 327
11.2.5 Functia ? a lui Dirichlet 330
11.2.6 Functia ? a lui Dirichlet 331
11.2.7 Functia ? a lui Dirichlet 331
11.2.8 Functiile eliptice ale lui Jacobi 332
11.2.9 Functiile lui Legendre (functiile sferice) 332
11.2.10 Functiile lui Bessel (functiile cilindrice) 333
Cap. XII CALCULUL INTEGRALELOR DEFINITE 335
12.1 Probleme generale 335
12.2 Formule de cuadratura cu noduri echidistante 337
12.2.1 Formula generalizata a dreptunghiurilor 338
12.2.2 Formula generalizata a trapezelor 340
12.2.3 Formula generalizata a lui Simpson 342
12.2.4 Formulele lui Newton-Cotes 345
12.2.5 Formula de cuadratura bazata pe polinomul de interpolare Hermite 348
12.3 Extrapolarea Richardson 349
12.4 Calculul valorii unei integrale definite cu metoda lui Romberg, utilizand extrapolarea lui Richardson 351
12.5 Formule de cuadratura cu noduri neechidistante 356
12.5.1 Formula de cuadratura a lui Cebasev 356
12.5.2 Formula de cuadratura Gauss Legendre 362
12.5.3 Formulele de cuadratura Gauss-Cebasev, Gauss-Laguerre si Gauss-Hermite 367
12.5.4 Formulele de cuadratura cu restrictii, ale lui Radau si Lobatto 374
12.6 Calculul numeric al integralelor multiple 375
12.7 Formule de cuadratura de tip Monte-Carlo 381
Cap. XIII DERIVAREA NUMERICA 387
13.1 Probleme generale 387
13.2 Formule de derivare bazate pe utilizarea polinomului de interpolare Lagrange 388
13.3 Utilizarea metodei de extrapolare Richardson pentru calculul mai exact al derivatelor 397
13.4 Formule pentru calculul derivatelor de ordin superior 400
Cap. XIV APROXIMAREA FUNCTIILOR 404
14.1 Probleme generale 404
14.2 Aproximarea functiilor cu polinoame. Metoda celor mai mici patrate 405
14.3 Aproximarea functiilor cu polinoame Cebasev 412
14.4 Polinomul de cea mai buna aproximare. Algoritmul lui Remez 416
14.5 Aproximarea functiilor elementare 424
14.6 Aproximanta Pade 431
14.7 Aproximarea functiilor periodice prin serii Fourier 435
14.8 Transformata Fourier directa si inversa 453
14.9 Transformata Fourier discreta (DFT) si transformata Fourier rapida (FFT) 457
Cap. XV METODE MODERNE de APROXIMARE, UTILIZATE in GRAFICA pe CALCULATOR
si PROIECTAREA ASISTATA 471
15.1 Probleme generale 471
15.2 Polinoamele lui Bernstein 472
15.3 Curbe Bezier 477
15.4 Functii Bezier rationale 497
15.5 Functii B-spline 499
15.6 Curbe B-spline 507
15.7 Functii si curbe B-spline rationale si NURBS 517
Cap. XVI PROBLEME GENERALE PRIVIND REZOLVAREA NUMERICA a ECUATIILOR si SISTEMELOR de ECUATII DIFERENTIALE cu CONDITII INITIALE 523
16.1 Primele ecuatii diferentiale 523
16.2 Aspecte introductive 525
16.3 Principalele metode de rezolvare numerica a ecuatiilor diferentiale 526
16.4 Existenta si unicitatea solutiei 529
16.5 Tipuri de erori 530
16.6 Stabilitate, consistenta, convergenta 532
16.7 Exemple de ecuatii si sisteme de ecuatii diferentiale 535
Cap. XVII METODE UNIPAS de TIP EULER 542
17.1 Metoda lui Euler 542
17.2 Metoda lui Euler modificata 550
17.3 Metodele lui Heun 551
17.4 Rezolvarea numerica a unei ecuatii diferentiale utilizand metodele de tip Euler 553
Cap. XVIII METODE UNIPAS de TIP RUNGE-KUTTA, EXPLICITE 557
18.1 Metoda de tip Runge-Kutta de ordinul unu 560
18.2 Metode de tip Runge-Kutta de ordinul doi 561
18.3 Metode de tip Runge-Kutta de ordinul trei 564
18.4 Metode de tip Runge-Kutta de ordinul patru 568
18.5 Studiul stabilitatii absolute in cazul metodelor Runge-Kutta explicite 575
18.6 O metoda Runge-Kutta de ordinul patru cu trei evaluari ale functiei 577
18.7 Aplicarea metodei Runge-Kutta de ordinul patru in cazul unui sistem de ecuatii diferentiale
578
Cap. XIX REZOLVAREA NUMERICA a SISTEMELOR de ECUATII DIFERENTIALE si EXEMPLE 582
19.1 Program C pentru rezolvarea numerica a sistemelor de ecuatii diferentiale 582
19.2 Exemple de rezolvari numerice ale ecuatiilor diferentiale de ordinul intai 587
19.3 Exemple de rezolvari numerice ale sistemelor de ecuatii diferentiale de ordinul intai 589
19.4 Exemple de rezolvari numerice ale ecuatiilor diferentiale de ordinul doi 603
19.5 Exemple de rezolvari numerice ale sistemelor de ecuatii diferentiale de ordinul doi 612
Cap. XX Un STUDIU al ERORILOR GLOBALE in CAZUL REZOLVARII unui SISTEM de ECUATII DIFERENTIALE, in FUNCTIE de MARIMEA PASULUI de INTEGRARE si de ORDINUL METODEI 617
Cap. XXI METODE de TIP RUNGE-KUTTA de ORDIN MAI MARE DECAT PATRU, EXPLICITE 623
21.1 Probleme generale 623
21.2 Metode RK de ordin mai mare decat patru 624
21.3 Metode RK pentru rezolvarea ecuatiilor diferentiale autonome 631
21.4 Determinarea regiunii de stabilitate 634
21.5 Scheme „FSAL“ in cazul metodelor RK explicite 634
Cap. XXII PROCEDEE de EVALUARE si CONTROL al ERORII 637
22.1 Procedeul lui W. Kutta 639
22.2 Procedeul lui E. Fehlberg 640
22.3 Exemplu numeric 648
22.4 Rezolvarea ecuatiilor si sistemelor de ecuatii diferentiale utilizand functiile ode23 si ode45 din MATLAB 651
Cap. XXIII METODE de TIP RUNGE-KUTTA, SEMI-IMPLICITE si IMPLICITE 657
Cap. XXIV METODE MULTIPAS PENTRU REZOLVAREA ECUATIILOR DIFERENTIALE 668
24.1 Metode multipas de tip predictor si predictor-corector 668
24.2 Deducerea formulelor multipas predictor si corector in cazuri particulare 682
24.3 Metoda predictor-corector a lui Hamming 683
24.4 Metoda lui Numerov pentru rezolvarea unei ecuatii diferentiale de ordinul doi care nu contine derivate de ordinul intai 684
24.5 Rezolvarea numerica a unei ecuatii diferentiale utilizand metodele de tip predictor si predictor-corector 685
24.6 Consistenta, stabilitate si convergenta in cazul metodelor multipas 693
24.7 Evaluarea si controlul erorii, modificarea marimii pasului 700
24.8 Rezolvarea ecuatiilor si sistemelor de ecuatii diferentiale utilizand functia ode113 din MATLAB 705
Cap. XXV METODA BULIRSCH-STOER-GRAGG BAZATA pe EXTRAPOLAREA RICHARDSON 708
25.1 Metoda „mid-point” modificata 708
25.2 Utilizarea extrapolarii Richardson pentru determinarea mai exacta a valorii solutiei unei ecuatii diferentiale 709
25.3 Determinarea valorii pasului de integrare care asigura o precizie impusa 711
25.4 Metoda Bulirsch-Stoer-Gragg, program C si rezultate numerice 713
Cap. XXVI METODE NUMERICE PENTRU REZOLVAREA ECUATIILOR si SISTEMELOR de ECUATII DIFERENTIALE de TIP „STIFF” 719
26.1 Aspecte generale 719
26.2 Exemple de ecuatii si sisteme de ecuatii diferentiale de tip „non-stiff” si „stiff” 723
26.3 Metode numerice implicite de tip Runge-Kutta si multipas pentru rezolvarea ecuatiilor si sistemelor de ecuatii diferentiale de tip „stiff” 728
26.4 Stabilitatea metodelor de rezolvare a ecuatiilor diferentiale de tip „stiff” 735
26.5 Functiile din MATLAB pentru rezolvarea numerica a ecuatiilor si sistemelor de ecuatii diferentiale de tip „stiff” 737
Cap. XXVII REZOLVAREA NUMERICA a ECUATIILOR DIFERENTIALE cu ARGUMENT INTARZIAT 739
27.1 Aspecte introductive 739
27.2 Rezolvarea numerica a ecuatiilor si sistemelor de ecuatii diferentiale cu argument intarziat cu programe C 740
27.3 Exemple de ecuatii si sisteme de ecuatii diferentiale cu argument intarziat si rezolvari numerice 747
27.4 Rezolvarea ecuatiilor si sistemelor de ecuatii diferentiale cu argument intarziat utilizand functiile dde23 si ddesd din MATLAB 757
Cap. XXVIII METODA EXPONENTIALELOR de MATRICE UTILIZATA PENTRU REZOLVAREA unor SISTEME de ECUATII DIFERENTIALE 759
Cap. XXIX REZOLVAREA NUMERICA a ECUATIILOR si SISTEMELOR de ECUATII DIFERENTIALE cu CONDITII la LIMITA 769
29.1 Aspecte introductive 769
29.2 Determinarea solutiei unei ecuatii diferentiale cu conditii la limita ca urmare a rezolvarii a doua ecuatii diferentiale cu conditii initiale 774
29.3 Metoda diferentelor finite 776
29.4 Metoda „shooting” 783
29.5 Metodele Lobatto IIIA utilizate in cadrul functiilor bvp4c si bvp5c din MATLAB 786
29.6 Rezolvarea ecuatiilor si sistemelor de ecuatii diferentiale cu conditii la limita, utilizand functiile bvp4c si bvp5c din MATLAB 789
XXX BIBLIOGRAFIE 793
XXXI INDEX de NUME 817
XXXII INDEX de NOTIUNI 822
XXXIII ANEXA cu CONSTANTE MATEMATICE 826
XXXIV CONTENTS 836