Calcul tensorial pentru stiintele ingineresti

DESPRE CARTE

Lucrarea expune capitole importante ale calculului tensorial (algebra si analiza tensoriala), presupunand cunoscute prealabil cunostintele de algebra si analiza vectoriala (ale caror rezultate esentiale alcatuiesc o anexa speciala la sfarsitul lucrarii).

Pentru asimilarea mai usoara a noilor idei si notiuni, se trateaza la inceput in paralel in cazul vectorilor, ambele metode: cea geometrica clasica si metoda analitica bazata pe folosirea sistemelor de coordonate, folosindu-se in continuare pentru tensori doar ultima metoda.

Cunostintele sunt expuse in ordinea dificultatilor crescande la trei nivele de generalizare treptata, care corespund celor trei sisteme de coordonate (cartezian ortogonal, rectiliniu oblic si curbiliniu).

Notiunea de tensor se introduce pe mai multe cai posibile, aratand echivalenta lor. Se dau exemple de aplicare in matematica, fizica si stiinte ingineresti (rotatii finite, momente de inertie, eforturi unitare elastice), pentru aplicatiile din teoria relativitatii restranse si electrodinamica mediilor in miscare fiind rezervata o anexa speciala.

Notiunile clasice de gradient, divergenta, rotor si laplacian sunt generalizate treptat pana la cel mai inalt nivel corespunzand coordonatelor curbilinii generale, fiind particularizate apoi pentru coordonate curbilinii ortogonale, cele mai folosite in aplicatii.

Pentru a usura si completa intelegerea notiunilor si procedeelor de calcul, sunt expuse numeroase exemple de calcul concret numeric la locuri potrivite.

Nivelul de prezentare este inalt, universitar, lucrarea fiind utila nu numai inginerilor si cercetatorilor stiintifici, ci si aspirantilor si doctoranzilor care necesita aprofundarea acestui domeniu de mare importanta.

CUPRINS

Prefata 9

Introducere 11

1. SISTEME DE COORDONATE CARTEZIENE (SCC) 13
1.1. Introducere 13
1.2. Relatii de trecere de la un SCC la altul 15
1.3. Relatii de ortogonalitate. Matrice ortogonale. 17
1.4. Precizari ale unor notiuni 20
1.5. Unghiul dintre doua directii cu sens 21

2. MARIMI SCALARE SI VECTORIALE DEFINITE CU SCC 23
2.1. Scalari si invarianti scalari 23
2.2. Vectori definiti prin componente fata de SCC 24
2.3. Operatii cu vectori, definite cu componentele scalare 26
2.4. Reprezentarea geometrica a vectorului 27
2.5. Matricea componentelor scalare 29
2.6. Scrierea vectorilor fata de baza unui SCC 30
2.7. Inmultirea scalara a doi vectori 32
2.8. Inmultirea vectoriala a doi vectori 33
2.9. Simbolul lui Levi-Civita 38
2.10. Concluzii 39

3. NOTIUNEA DE TENSOR ORTOGONAL 42
3.1. Functii liniare intre vectori. Tensorul de ordin doi si generalizare. 42
3.2. Exemple simple de tensori 49

4. ALTE CAI DE INTRODUCERE A NOTIUNII DE TENSOR 53
4.1. Introducere 53
4.2. Componenta scalara a vectorului dupa o directie cu sens 54
4.3. Componenta vectoriala a tensorului dupa o directie cu sens 55
4.4. Recunoasterea caracterului tensorial 56
4.5. Produsul diadic al vectorilor 57
4.6. Forme multiliniare si legatura lor cu tensorii 58
4.7. Concluzii si unele generalizari 60

5. OPERATIILE ALGEBREI TENSORIALE 62
5.1. Egalitatea tensorilor 62
5.2. Adunarea (suma) tensorilor 62
5.3. Produsul cu scalar al tensorului 63
5.4. Produsul tensorial al doi tensori 64
5.5. Operatia de contractare a unui tensor 65
5.6. Produs tensorial contractat. Produs interior. 66
5.7. Tensori particulari 71
5.8. Axele principale ale tensorului simetric de ordin doi 74
5.9. Imagini geometrice atasate tensorilor de ordin doi 82
5.10. Concluzii 85

6. TENSORI IN MATEMATICA SI FIZICA 86
6.1. Marimi orientate care nu sunt vectori 86
6.2. Tensorul de rotatie 87
6.3. Exprimarea vectoriala a rotatiei 89
6.4. Tensorul de rotatie exprimat prin elementele geometrice care definesc rotatia 91
6.5. Viteza de rotatie si formulele lui Poisson 95
6.6. Tensorul momentelor de inertie ale unui corp solid rigid 97
6.7. Alte exemple de tensori din fizica 98
6.8. Observatie generala 103

7. SISTEME DE COORDONATE OBLICE (SCO) 105
7.1. Introducere, indici inferiori si superiori 105
7.2. Sisteme de coordonate oblice. Doua tipuri de baze si componente. 108
7.3. Coeficienti metrici 111
7.4. Relatii importante cu coeficienti metrici 112
7.5. Relatii intre componentele aceluiasi vector 116
7.6. Componentele fizice ale vectorului 119
7.7. Produsul a doi vectori in SCO 121

8. TENSORI IN SISTEME DE COORDONATE OBLICE 124
8.1. Relatii de transformare de la un SCO la altul 124
8.2. Relatii intre coeficientii metrici 127
8.3. Transformarea componentelor vectorului 130
8.4. Functii liniare vectoriale in SCO 132
8.5. Relatii matriceale de transformare a componentelor 138
8.6. Relatii intre diversele componente ale aceluiasi tensor 139
8.7. Tensori de ordin oarecare. Tensori de forma particulara. 142
8.8. Alte cai de introducere a tensorilor fata de SCO 148
8.9. Pseudotensori in SCO 153
8.10. Alte operatii cu tensori in SCO 155

9. ANALIZA TENSORIALA IN SCC SI SCO 164
9.1. Functii tensoriale de argument scalar 164
9.2. Functii tensoriale de argument vectorial 166
9.3. Extinderea analizei tensoriale in cazul SCO 171
9.4. Derivate spatiale in SCO 175

10. SISTEME DE COORDONATE CURBILINII (SCU) 179
10.1. Introducere. Exemple concrete. 179
10.2. Transformari de coordonate si consecinte 182
10.3. Transformari directe intre SCU 187

11. ANALIZA TENSORIALA IN COORDONATE CURBILINII 191
11.1. Tensorul metric in SCU 191
11.2. Simbolurile lui Christoffel 192
11.3. Determinarea simbolurilor lui Christoffel 195
11.4. Transformarea simbolurilor Christoffel 197
11.5. Derivatele spatiale in SCU 198
11.6. Derivarea tensorilor in SCU 204

ANEXE 215

ANEXA I. SISTEMUL INDICIAL DE SCRIERE PRESCURTATA SI CONVENTIILE CORESPUNZATOARE 216

ANEXA II. DESPRE ORIENTAREA UNOR ELEMENTE IN GEOMETRIA EUCLIDIANA 224

ANEXA III. BREVIAR DE CALCUL VECTORIAL CLASIC 231
1. Algebra vectoriala 231
2. Analiza vectoriala 248
3. Teoria campurilor 260

ANEXA IV. TEORIA CUATERNIONILOR 277

ANEXA V. TEORIA ROTATIILOR DE UNGHIURI FINITE 279

ANEXA VI. AVANTAJELE UTILIZARII TENSORILOR IN PREZENTAREA TEORIEI RELATIVITATII RESTRANSE SI A ELECTRODINAMICII MEDIILOR IN MISCARE 283

SIMBOLURI, NOTATII, PRESCURTARI 327

INDEX ALFABETIC 330

BIBLIOGRAFIE 336