Inginerie stochastica

PREFATA

Prezenta lucrare se adreseaza tuturor celor care au cunostinte minime de statistica matematica si teoria probabilitatilor.

Este utila in accesarea tipurilor de producere a unor functionari anormale precum si incadrarea lor pentru a fi capabili sa evitam asemenea situatii. Evenimentele si legile care le guverneaza sau legea numerelor mari sunt cateva din abordarile acestei carti.

Legile de repartitie ale evenimentelor, dar si legile probabilitatilor conditionate sunt folosite si in teoria si practica controlului sistemelor automate.

De asemenea, variabilele aleatoare sunt tratate cu mare atentie pentru ca stabilirea masurii in care se manifesta influentele reciproce dintre acestea este utila in multe experiente.

Legatura in cadrul unui sistem multidimensional de variabile aleatoare este matricea de corelatie cu toate proprietatile ei.

Sunt evidente diferentele ce exista intre cele doua moduri existente: determinist si stochastic. Aceste diferente incep sa ne puna imediat anumite intrebari, cum ar fi: daca sistemul prezis, deterministic este exact, atunci cum procedam la inlaturarea factorilor care au schimbat comportarea exacta a sistemului intr-una aleatoare?

Procesele intamplatoare apar oricand si oricum in realitatea noastra. Problema esentiala in ilustrarea unui proces aleator este evolutia lui in timp real.

Ceea ce prezinta interes deosebit este acela ca modelele de ecuatii discrete cu diferente sunt similare ecuatiilor diferentiale de la modelele deterministe evolutive in timp. Desi, orice metoda numerica de integrare a sistemelor de ecuatii diferentiale nu este altceva decat o modelare in intervale de timp discrete.

Realizarile experimentale sunt intotdeauna insotite de zgomote, aceste realizari, care sunt rezultate ale masuratorilor, prezentate fie sub forma de tabele, fie sub forma de grafice, sunt denaturate mai intens sau mai putin intens de catre zgomotele asociate.

Dupa cum se observa, lucrarea ataca unele probleme folosite in practica inginereasca de masurare sau de constructie.

Aceasta lucrare, desi ramasese in afara preocuparilor vreo cincisprezece ani, am reluat-o acum in definitivare in august 2017.

Autorii

CUPRINS

I. EVENIMENTE, PROBABILITATI CONDITIONATE 11
1.1. Camp de evenimente 12
1.1.1. Definitii. Camp de evenimente 12
1.2. Camp de probabilitate 18
1.2.1. Definitia clasica 18
1.2.2. Definitia moderna 19
1.3. Probabilitati conditionate 25
1.3.1. Definitie 25
1.3.2. Formula probabilitatii totale. Formula lui Bayes 27
1.3.3. Evenimente independente 31
1.4. Variabile aleatoare 32
1.4.1. Definitie 32

II. FUNCTII DE REPARTITIE. CARACTERISTICI NUMERICE ALE VARIABILELOR ALEATOARE 34
2.1. Definitii si proprietati 34
2.1.1. Definitii 34
2.1.2. Proprietati 35
2.2. Functii de repartitie 36
2.2.1. Functii de repartitie discrete 36
2.2.2. Functii de repartitie de tip continuu 40
2.2.3. Functii de repartitie de mai multe dimensiuni 42
2.3. Caracteristicile numerice ale variabilelor aleatoare 44
2.3.1. Media, varianta 44
2.3.2. Momentele variabilelor aleatoare 48
2.4. Covarianta (Corelatia) variabilelor aleatoare 51
2.4.1. Covarianta (corelatia), coeficientul de corelatie 52
2.4.2. Matrice de corelatie 55
2.5. Functii de repartitie 59
2.5.1. Functii de repartitie de tip continuu 59
2.5.2. Functii de repartitie de tip discret 71
2.6. Functii de repartitie pentru alte variabile aleatoare 81

III. LEGEA NUMERELOR MARI. TEOREME LIMITA CENTRALE 85
3.1. Legea numerelor mari 85
3.1.1. Legea slaba a numerelor mari 85
3.1.2. Legea tare a numerelor mari 87
3.1.3. Evenimente invariante. Ergodicitate 89
3.2. Functii caracteristice 89

IV. FUNCTII CARACTERISTICE 91

V. SISTEME DE ECUATII DIFERENTIALE STOCHASTICE 94
5.1. Ecuatii diferentiale si sisteme de ecuatii diferentiale 94
5.1.1. Principii generale cu privire la sistemele de ecuatii
diferentiale 95
5.1.1.1. Sisteme de ecuatii diferentiale liniare cu
coeficienti constanti 96
5.1.1.2. Sisteme de ecuatii diferentiale liniare cu
coeficienti variabili 104
5.2. Puncte de bifurcatie 110
5.3. Deterministic si stochastic 116
5.4. Liniarizarea unei functii de un singur argument aleator 119

VI. FUNCTII ALEATOARE. CARACTERISTICI 123
6.1. Legi de repartitie ale functiilor aleatoare 124
6.2. Caracteristicile functiilor aleatoare 125
6.3. Determinarea caracteristicilor functiilor aleatoare 129
6.3.1. Operatii cu functii aleatoare 130
6.3.2. Functia de corelatie de legatura 139
6.4. Reducerea functiei aleatoare la un sistem de variabile
aleatoare 140
6.4.1. Transformarea unui sistem de variabile aleatoare
in forma canonica 143
6.4.2. Forma canonica a functiei aleatoare 149

VII. PROCESE. DEFINITII. PROCESE ALEATOARE 163
7.1. Definitiile functiilor aleatoare 163
7.2. Introducere in procese stochastice 166
7.2.1. Ecuatii cu diferente finite 166
7.2.2. Procese Poisson 173

VIII. FILTRE. FILTRARE. NETEZIREA FUNCTIILOR ALEATOARE 176
8.1. Filtre. Teoria algebrica 177
8.2. Filtre si probabilitati 178
8.3. Filtre si polinoame 179
8.3.1. Alegerea gradului optim al polinomului 180
8.3.2. Metoda celor mai mici patrate 182
8.3.3. Calculul coeficientilor unui polinom de gradul doi 184
8.4. Produsul de convolutie la filtrare 192
8.4.1. Produsul de convolutie al unor functii 192
8.5. Filtre Kalman 192
8.5.1. Teoria filtrului 192

IX. COMPRESIA DATELOR. ALGORITMI 207
9.1. Introducere 207
9.2. Transformarea Karhunen-Loeve 211
9.2.1. Probleme teoretice 211
9.2.2. Covarianta si corelatia 212
9.3. Transformari principale (Karhunen-Loeve, Hotelling sau Eigenvector transform) 213

Bibliografie 216